數學教育隨筆 - 數與式

參照99高中必修數學課綱：http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/MCenter/Center/CourseOutline.aspx

"""實數是度量連續量的符號。在第一章的「數與式」中,學習目標為建構直尺,也就是要學習實數的十進位表示法,以及處理數線上的幾何問題。首先複習有理數系並延伸介紹循環小數,但此處僅需初步介紹循環小數為有理數,證明則留待極限的章節討論。藉由有理數的十進位表示法,導入介紹數線上實數的十進位表示法,即無限小數。此處僅需建立實數可由有限小數逼近的直觀,不需涉及實數的完備性觀念。至於 根號2 為無理數的證明,則置於附錄。在數的學習中,要循序漸進地引領學生學習以文字替代具體數字的形式操作,包括展開、分解與化簡,以與國中的經驗連結,並作為學習函數的基礎。"""

文章內介紹循環小數的方式不妥，循環小數為數論理想的入門課題，應由學生自行發現。請學生計算1/7至小數下20位，應可自其中發現規律。此時可讓學生分組討論，為什麼會循環，接下來的問題便是是否一定會循環。其相關證明會應用到鴿籠原理，可順手介紹。此練習應會自然帶出同餘的概念，且學生有機會自行發現費馬小定理。可使用數學魔術來加強學生的印象。

根號2 是無理數乃數學一大基石，其證明自然不應跳過。可講述畢達哥拉斯的故事，順手複習畢氏定理。(補充閱讀：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/index.html) 至於分式與根式的展開、分解與化簡，乃操作性的算術技術，教學上應先引導學生如何定義"最簡根式"，之後儘可能由學生自行導出公式並以作業練習。

數學教育隨筆 - 總綱

我最近一直告訴國中生，高中生，我們平常的數學其實是兩個科目-算術，和數學。兩者學習的方式完全不同，但可惜的是從小到大的數學老師很少會這樣跟你說的。

算術，是一種機械化操作的能力，告訴你規則，你得把答案求出來。給你公式，把數字代進去，就是這樣的一門學問。這門學問好教，可以反覆練習，而且還可以比速度，比正確性。那麼缺點呢?如果給你一道沒教過公式的算題，可能會當場卡住，怎麼也做不出來。另一個少為人知的缺點，就是如果沒有反覆使用，機械化的訓練一旦停止，很容易就隨時間而漸漸淡忘。如果你畢業後就"忘記"高中數學怎麼算了，很有可能你學的是高中算術，或說你用算術的方法在學習。

數學，是觀察和推理以至於建構整個系統的能力。這門學問的學習方式相當近似自然科學-觀察規律，提出假說(在數學裡是定義)，最後驗證這個定義建構出來的系統"合不合理"。因此，如同理科的學習，數學當有實驗課，這門課開起來相當容易，不用燒杯，不用藥品，通常只有有紙筆就可以了。也因此這門課可以自修，腦筋清楚一點的學生甚至不用紙筆，在腦中就已進行無數的實驗。這門課不好教，教學也沒有立竿見影的成效，但長遠來說，能夠學到這項學問的，才能夠一法通萬法通，真正的達到數學學習的效果。

你曾懷疑為什麼有些同學似乎沒有多花什麼時間，但數學特別好，學得特別快嗎?那通常都是因為你沒有看到他腦中進行的那些數學實驗。這些同學搞不好一週除了六堂數學課，還有三堂自修的數學實驗課哩。

用職場的角色來比喻，精通算術就像是做一個稱職的勞工，按著既定的準則做事，而精通數學就像是當一個管理人，隨時必須面對不確定的大環境，想出方法來因應。

良好的數學教育，兩者應兼顧。我將來所發佈有關數學教學的文章，也會儘可能指出哪部份屬於算術，該怎麼訓練，以及哪部份屬於數學，該怎麼實驗。

教女兒玩遊戲

最近常跟三歲半的女兒玩一個遊戲，那就是放五六個錢幣(或其他相同的物品數個)，然後開始拿，規矩是兩人輪流拿，拿到最後一個的贏，然後她決定誰先開始。

她一開始會覺得不是先拿的一定贏，就是後拿的一定贏(即使我把總數改過了)。現在還在試驗要怎麼樣才能培養出她對奇偶性的感覺。還是希望她可以預測下幾步發生的事，從而得到結論。她還沒有抓到要領，但有時候會想拉媽媽一起來玩三人的進階版 :)

許多遊戲基本上都是你一輪我一輪做決定為基礎，所以我相信這個是訓練她玩遊戲的第一步。
嘿嘿，下一步是一次可以選要拿一個還是兩個~~

奧林匹亞數學

我曾經說過，我每年都還是會去做奧林匹亞的數學競試題，一方面想看看自己的金牌是否生鏽了，另一方面，也是做為我臨睡的一種娛樂。

很多人對奧林匹亞有種誤解，覺得競試的數學題都是很高深莫測的題目，其實不然，很多競試題是你我任何一個人都可以理解的。這個比賽一天比三道題，而第三題和第六題通常是安排為當天最困難的題目。我很喜歡今年的第三題和第六題，在這裡可以和大家分享：

3. 有一個嚴格遞增的正整數數列s1, s2, s3, ..., 其中第s1項，第s2項，第s3項, ... 是一個等差數列，第s1+1項，第s2+1項, 第s3+1項, ... 也是一個等差數列，證明原數列是等差數列。

解說，假設原數列是 5, 17, 50, 88, ... 要符合上述條件就得第5項、第17項、第50項、第88項 ...是一個等差數列，第6項、第18項、第51項、第89項 ...也是一個等差數列。

6. 有一隻蚱蜢在數線上從原點向右邊跳躍 N 次，已知牠會分別跳s1, s2, ..., sN 步，s1, s2, ..., sN 都是正整數且兩兩相異，但不知道其順序。也就是說牠的起點為0，終點一定為s1+s2+...+sN。現在你可以在起點和終點之間任意設下N-1個陷阱(不含起點和終點)，求證蚱蜢一定可以找到一種跳躍的順序避開你的所有陷阱。

這兩個問題，我相信國中生就能夠理解了，但它們足以難倒世界上頂尖的高中生，甚至是數學系教授。我自己是解出第三題了，第六題還在想。

我最喜歡的數學題，在於簡明的敘述和複雜的答案。費馬最後定理就是一個有名的例子。我總認為數學題的敘述只要超過三句話，就不夠"純潔"了。美麗的數學題，是老嫗能讀、天才難解。如果有人認為，奧林匹亞的數學題像是遙不可及的天書，那就是完全不瞭解這個比賽的內涵。

那麼，題目大家都懂，為什麼對一般人來說那麼難? 我下的結論是，因為台灣的數學教育方式，和比賽題的內涵，是背道而馳的。

台灣的數學教育，是想辦法把所有聯考可能出現的題目都拿來分析，看什麼公式的出題率高，月考、期考、模擬考不斷的考你。但是要怎麼"想"數學，似乎不是什麼教學的重點。誰有空在聯考一個小時的時間裡在那邊慢慢想啊? 我每次只要聽到補習班又在那邊題型、口訣我就覺得頭快要爆炸了。難怪大家"考"不好奧林匹亞數學嘛! 誰能告訴我上面那兩題是什麼"題型"，又有什麼口訣? 數學真的不是這樣的一門學問。

那到底要怎麼樣才能"學"奧林匹亞數學? 當我在家教奧林匹亞數學時，我要教的是什麼? 我個人覺得最重要的第一名，是學習觀察力。這就像武俠小說中的獨孤九劍，題目只要是有形的"招式"，就必定有"破綻"可以攻擊。所以為什麼敘述越簡單的題目往往越難，就是因為難以從簡短的幾個字中找出解題的正確方向。

如果你問我數學到底有沒有公式、有沒有口訣，我還是會說有，但這是大方向的公式、大方向的口訣。最簡單的例子，如果題目是證明一個不等式一定成立，那第一件事就是看這個不等式是不是齊次，如果不是的話，那一定不是用算幾不等式或柯西不等式，因為這兩個都是齊次的不等式。遇到那樣的題目可以想辦法移項配方，因為(x+1)^2 >= 0這種式子並不是齊次式。我不知道類似這樣的觀念是不是公式、是不是口訣，但這是一種由觀察得來的概念，而非死背。

你問我學數學什麼時候最快樂，那就是學到一個這樣的概念。我在研究所的時候自己去旁聽一門數學課，結果學到這樣的概念：要證明"X可能不存在"，只要證明X發生的期望值小於1即可，不一定要構造出X不存在的情況。這點可以運用在上面的第六題，也就是說你不一定要構造出一種蚱蜢跳躍的過程來避過所有的陷阱，你只要證明蚱蜢掉進陷阱的機率小於1即可。這是相當有趣的想法。我自己有另一道題也是不透過構造而證明不存在性，但那題的概念與此完全不同(也是很有趣的題目)。我認為學到這樣的想法就像是打電腦遊戲撿到寶藏或神奇裝備一樣，它增長了我解題工具的數量。

我希望我們的數學教育，可以從其哲學上做徹底的更新。學數學不是要把所有可以出的題目都先拿出來讓你練習，而是要訓練你面對沒看過的題目你的解題工具夠不夠解開它。這個根本的思想沒有改過來，再多的數學教改對我來說都是浪費時間。我聽說小我幾屆的國手們，有人開始在背解答，那真的是暴殄天物，把好好的題目都浪費了。想不出來就想不出來，不要偷看解答，是搞數學的基本氣節。將來有一天在做研究時，你碰到的問題可以查解答嗎?

我想告訴我的學生，老師不知道聯考有什麼考古題，也不知道今年會考什麼題目，但無論考什麼，你一定都能想得出來，加油!