奧林匹亞數學

我曾經說過，我每年都還是會去做奧林匹亞的數學競試題，一方面想看看自己的金牌是否生鏽了，另一方面，也是做為我臨睡的一種娛樂。

很多人對奧林匹亞有種誤解，覺得競試的數學題都是很高深莫測的題目，其實不然，很多競試題是你我任何一個人都可以理解的。這個比賽一天比三道題，而第三題和第六題通常是安排為當天最困難的題目。我很喜歡今年的第三題和第六題，在這裡可以和大家分享：

3. 有一個嚴格遞增的正整數數列s1, s2, s3, ..., 其中第s1項，第s2項，第s3項, ... 是一個等差數列，第s1+1項，第s2+1項, 第s3+1項, ... 也是一個等差數列，證明原數列是等差數列。

解說，假設原數列是 5, 17, 50, 88, ... 要符合上述條件就得第5項、第17項、第50項、第88項 ...是一個等差數列，第6項、第18項、第51項、第89項 ...也是一個等差數列。

6. 有一隻蚱蜢在數線上從原點向右邊跳躍 N 次，已知牠會分別跳s1, s2, ..., sN 步，s1, s2, ..., sN 都是正整數且兩兩相異，但不知道其順序。也就是說牠的起點為0，終點一定為s1+s2+...+sN。現在你可以在起點和終點之間任意設下N-1個陷阱(不含起點和終點)，求證蚱蜢一定可以找到一種跳躍的順序避開你的所有陷阱。

這兩個問題，我相信國中生就能夠理解了，但它們足以難倒世界上頂尖的高中生，甚至是數學系教授。我自己是解出第三題了，第六題還在想。

我最喜歡的數學題，在於簡明的敘述和複雜的答案。費馬最後定理就是一個有名的例子。我總認為數學題的敘述只要超過三句話，就不夠"純潔"了。美麗的數學題，是老嫗能讀、天才難解。如果有人認為，奧林匹亞的數學題像是遙不可及的天書，那就是完全不瞭解這個比賽的內涵。

那麼，題目大家都懂，為什麼對一般人來說那麼難? 我下的結論是，因為台灣的數學教育方式，和比賽題的內涵，是背道而馳的。

台灣的數學教育，是想辦法把所有聯考可能出現的題目都拿來分析，看什麼公式的出題率高，月考、期考、模擬考不斷的考你。但是要怎麼"想"數學，似乎不是什麼教學的重點。誰有空在聯考一個小時的時間裡在那邊慢慢想啊? 我每次只要聽到補習班又在那邊題型、口訣我就覺得頭快要爆炸了。難怪大家"考"不好奧林匹亞數學嘛! 誰能告訴我上面那兩題是什麼"題型"，又有什麼口訣? 數學真的不是這樣的一門學問。

那到底要怎麼樣才能"學"奧林匹亞數學? 當我在家教奧林匹亞數學時，我要教的是什麼? 我個人覺得最重要的第一名，是學習觀察力。這就像武俠小說中的獨孤九劍，題目只要是有形的"招式"，就必定有"破綻"可以攻擊。所以為什麼敘述越簡單的題目往往越難，就是因為難以從簡短的幾個字中找出解題的正確方向。

如果你問我數學到底有沒有公式、有沒有口訣，我還是會說有，但這是大方向的公式、大方向的口訣。最簡單的例子，如果題目是證明一個不等式一定成立，那第一件事就是看這個不等式是不是齊次，如果不是的話，那一定不是用算幾不等式或柯西不等式，因為這兩個都是齊次的不等式。遇到那樣的題目可以想辦法移項配方，因為(x+1)^2 >= 0這種式子並不是齊次式。我不知道類似這樣的觀念是不是公式、是不是口訣，但這是一種由觀察得來的概念，而非死背。

你問我學數學什麼時候最快樂，那就是學到一個這樣的概念。我在研究所的時候自己去旁聽一門數學課，結果學到這樣的概念：要證明"X可能不存在"，只要證明X發生的期望值小於1即可，不一定要構造出X不存在的情況。這點可以運用在上面的第六題，也就是說你不一定要構造出一種蚱蜢跳躍的過程來避過所有的陷阱，你只要證明蚱蜢掉進陷阱的機率小於1即可。這是相當有趣的想法。我自己有另一道題也是不透過構造而證明不存在性，但那題的概念與此完全不同(也是很有趣的題目)。我認為學到這樣的想法就像是打電腦遊戲撿到寶藏或神奇裝備一樣，它增長了我解題工具的數量。

我希望我們的數學教育，可以從其哲學上做徹底的更新。學數學不是要把所有可以出的題目都先拿出來讓你練習，而是要訓練你面對沒看過的題目你的解題工具夠不夠解開它。這個根本的思想沒有改過來，再多的數學教改對我來說都是浪費時間。我聽說小我幾屆的國手們，有人開始在背解答，那真的是暴殄天物，把好好的題目都浪費了。想不出來就想不出來，不要偷看解答，是搞數學的基本氣節。將來有一天在做研究時，你碰到的問題可以查解答嗎?

我想告訴我的學生，老師不知道聯考有什麼考古題，也不知道今年會考什麼題目，但無論考什麼，你一定都能想得出來，加油!